MOST RANS
🇷🇺

О методе RANS

Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) - это подход к моделированию турбулентных течений, основанный на усреднении уравнений Навье-Стокса по времени.

Что такое RANS?

Уравнения Навье-Стокса описывают движение вязкой жидкости. Однако прямое численное решение этих уравнений (DNS) для турбулентных течений требует огромных вычислительных ресурсов.

Метод RANS решает эту проблему путём усреднения уравнений по времени. Мгновенные величины разделяются на среднюю и пульсационную составляющие:

Декомпозиция Рейнольдса

Любая мгновенная величина представляется как сумма среднего значения и флуктуации:

ui=uˉi+ui′u_i = \bar{u}_i + u'_i
(1)

где uˉi\bar{u}_i - среднее значение, ui′u'_i - пульсация

Усреднённые уравнения

Уравнение неразрывности:

∂uˉi∂xi=0\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_i} = 0
(2)

Уравнение сохранения импульса:

∂uˉi∂t+uˉj∂uˉi∂xj=−1ρ∂pˉ∂xi+ν∂2uˉi∂xj∂xj−∂ui′uj′‾∂xj\frac{\partial \bar{u}_i}{\partial t} + \bar{u}_j \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} = -\frac{1}{\rho} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x_i} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u}_i}{\partial x_j \partial x_j} - \frac{\partial \overline{u'_i u'_j}}{\partial x_j}
(3)

Тензор напряжений Рейнольдса

При усреднении появляется дополнительный член - тензор напряжений Рейнольдса, который требует моделирования:

τij=−ρui′uj′‾\tau_{ij} = -\rho \overline{u'_i u'_j}
(4)

Эта проблема замыкания решается с помощью моделей турбулентности.

Гипотеза Буссинеска:

−ui′uj′‾=νt(∂uˉi∂xj+∂uˉj∂xi)−23kδij-\overline{u'_i u'_j} = \nu_t \left( \frac{\partial \bar{u}_i}{\partial x_j} + \frac{\partial \bar{u}_j}{\partial x_i} \right) - \frac{2}{3} k \delta_{ij}
(5)

где νt\nu_t - турбулентная вязкость, kk - кинетическая энергия турбулентности

Модели турбулентности

Наиболее распространённые модели замыкания RANS:

k-εk\text{-}\varepsilon (k-ε модель)

Двухпараметрическая модель, использующая уравнения для кинетической энергии турбулентности (k) и скорости её диссипации (ε).

k-ωk\text{-}\omega (k-ω модель)

Альтернативная модель с уравнениями для k и удельной скорости диссипации (ω). Лучше работает вблизи стенок.

SST (SST модель)

Гибридная модель Ментера, комбинирующая преимущества k-ε и k-ω моделей.

Дополнительные материалы

Уравнения Рейнольдса Уравнения Навье-Стокса Турбулентность